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假定你正濒临一个复杂且难以科罚的问题，你有能力将这个问题从头表述为一个新的、较容易的问题。这么，你不仅不错科罚这个简化后的问题，还不错将其解法诊治回原来的复杂问题。这等于拉普拉斯变换的中枢。

它执行上是一个捷径，在某些情况下将大学水平的问题升沉为高中水平的问题。具体来说，它将微积分升沉为代数，将一些相等勤勉的方程升沉为不那么勤勉的方程。

不那么为东谈主所知的是，拉普拉斯变换在纯数学中也相等有用。

我但愿你从著作中记着一个迫切不雅点，

在数学中，存在两个平行的限度，每次你对一个函数进行操作时，其实是在同期对两个不同的方面进行处理。

界说、例子和性质

拉普拉斯变换界说如下：

假定有一个变量t的函数f，那么拉普拉斯变换ℒ(f)是另一个变量s的函数F，界说为：

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这些变量称呼的背后原因是，当以物理学的角度解释拉普拉斯变换时，咱们会将一个信号暗示为时间的函数，并将其诊治为一个暗示（复）频率的函数的信号。咱们不会运筹帷幄这种对应关系的信得过含义，但我不错告诉你，它与它的姐妹——傅里叶变换干系。

提神，F不是f的反导函数。积分上限中的无限大标记应被解释为取极限，即

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假定极限存在。

让咱们看一个例子。让咱们礼聘最浮浅的函数之一：f(t) = t。

咱们不错使用分部积分赢得以下遵守：

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在此进程中，咱们使用了洛必达规定，你只需提神，当f(t) = t时，F(s) = 1/s²。

同理，咱们不错更浮浅地得出论断：当原函数 ()=1时，其拉普拉斯变换 ()等于 1/。

让咱们望望在“平行”天下中，在时域内乘以一个指数是什么形势的。

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因此，当在时间域中将一个函数乘以一个指数函数时，在拉普拉斯变换后的 域中，这至极于迁移（或平移）参数。这种遵守固然看起来浮浅，但执行上相等宏大，况兼在干系的文件中被反复使用。

一个迫切的例子是指数函数的拉普拉斯变换。具体来说，有

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拉普拉斯变换也不错应用于三角函数。举例，当咱们对函数 ()=sin⁡()进行拉普拉斯变换时，咱们需要通过分部积分的门径进行屡次计较，并最终求解一个方程。经过这些计较之后，咱们不错赢得一个相等有用的遵守：

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拉普拉斯变换有一些相等有用且迫切的性质。其中，最基本且最迫切的性质之一是它是一个线性算子。线性算子的特质意味着拉普拉斯变换显示以下条款：

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其中F和G永诀是f和g的拉普拉斯变换。

另一个极其迫切的性质是拉普拉斯变换是一双一的映射，这意味着它有唯独的逆变换。即，无论咱们在一个天下中作念什么，在另一个天下中齐有平行的动作。

两个可积函数唯独在它们在勒贝格推断为零的聚合上有所不同的情况下，才具有疏通的拉普拉斯变换，而且逆变换的精准公式需要复杂的积分表面（概括积分）。

通过拉普拉斯变换解说“天下上最好意思的方程”

以下被称为数学中最好意思的遵守。这归功于莱昂哈德·欧拉，他向咱们展示了指数函数与三角函数的关系：

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平凡咱们解说欧拉公式的门径是通过伸开指数函数的无限幂级数，并使用分拨律的无限版块。这种门径固然灵验，但波及到一些复杂的技艺性论证。因此，自拍偷拍为了简化，许多作家在进修时会概略这些复杂的才能。

你可能不知谈的是，咱们不错使用拉普拉斯变换来解说上述欧拉的遵守。

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当今咱们不错在双方取逆拉普拉斯变换赢得

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其中咱们使用了逆变换的线性性质。将上述公式看当作三角函数的余弦和正弦：

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得证。

从微积分到代数再回到微积分

拉普拉斯变换最宏大的性质之一是它将导数变为多项式。具体来说，有

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即在s域中乘以s对应于时间空间中的微分。还有更高阶的雷同公式。举例：

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这些公式看起来浮浅，但它们有能力将微分方程升沉为多项式方程，而多项式方程要容易得多。在某些情况下，它们以致将偏微分方程升沉为常微分方程。

例子

假定咱们念念要解微分方程：

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运转条款为f(0) = 0和f '(0) = 0。让咱们在双方取拉普拉斯变换

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通过代入运转条款并提议F(s)，赢得

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让咱们停驻来，提神以下2个迫切的点：

复杂的方程变浮浅了：通过拉普拉斯变换，正本复杂的微分方程造成了一个浮浅的函数界说。这使得问题变得更容易处理。

运转条款编码到解中：在 s 域中，运转条款被当然地包含在解中。因此，不需要突出的多个运转条款，因为它们依然被整合到一个方程里了。这意味着咱们只需要处理一个浮浅的方程，而不是处理多个运转条款。

当今，只需在双方取逆拉普拉斯变换来找到f。在延伸中，咱们平凡使用部分分式判辨，但咱们也不错使用一个公式。

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固然拉普拉斯变换在处理微分方程时相等灵验，但这仅仅其应用的一个入手。拉普拉斯变换有许多其他敷裕见效的应用，但本文不会深切筹商这些内容。

更高等和奇特的用例

在s域中乘以s对应于微分，除以s对应于积分，遵守解说是更一般对应关系的特地例子。

卷积（Convolutions）

在s域中两个函数F和G的乘积界说了时间域中两个函数f和g的一种运算，称为卷积，记作f * g。确认维基百科：

卷积在概率论、统计学、声学、光谱学、信号处理和图像处理、地球物理学、工程学、物理学、计较机视觉和微分方程中齐有应用。

正实数上的积分和狄利克雷积

拉普拉斯变换的一个相等有用的性质如下：

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让咱们尝试用这个公式来处理一个盛名的勤勉积分，称为狄利克雷积分。这个问题要求计较以下积分：

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这个例子在宏大积分技艺中就像“Hello， World” 相同，是一个浮浅但能展示其基痛快趣和功能的经典示例。。咱们有：

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诓骗1/(x²+1)的反导数是arctan(x) + c，赢得

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拉普拉斯级数

我一直期待着与寰球共享以下内容。 咱们假定总共的一般级数和积分齐敛迹。

假定有一个周期为P的周期函数f，况兼它的傅里叶级数为

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那么咱们不错通过线性性赢得f的拉普拉斯变换的级数：

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若是P = 2π，那么上述公式简化为

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其中a和b永诀是偶数和奇数的傅里叶总共。

我不知谈这个公式是否有称呼，因为我之前莫得见过它，是以我称之为拉普拉斯级数。若是它依然有称呼，请告诉我。

让咱们尝试将其应用到一个例子中。在区间[0， 2π]内设f(t) = t，然后周期性延拓。该函数的图像如下：

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这个函数的傅里叶级数如下：

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咱们知谈，除了在不相连点（即t ∈ 2πℤ处，它赶巧等于π）除外，该函数与上头界说的锯齿函数疏通。

在使用公式之前，我履历了手工计较f的拉普拉斯变换的倒霉进程。通过对积分的无限级数乞降，赢得

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由于f的傅里叶级数仅在推断为0的聚合上与f不同，咱们知谈上述公式赶巧等于f的拉普拉斯级数。即：

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其骨子是，即使傅里叶级数在s域中也有一个平行的级数。这意味着每个（相对邃密行为的）周期函数在时间域中有一个傅里叶级数暗示它，在复频域中有一个拉普拉斯级数暗示它。

但是，咱们需要略细谨防，因为拉普拉斯变换只变换正实数上的函数。它对负轴上的函数“一无所知”。

这个表面绽放了领悟数论限度的大门，在这个限度喜爱夜蒲，像左边这个级数黑白常迫切的运筹帷幄对象。

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